1988년, Michael Barnsley는 프로그래밍에 적합한 프랙탈 생성 및 묘사 방법인 ‘반복 함수 시스템(Iterated Function System, IFS)을 개발했습니다. 이 시스템에 사용된 함수는 모두 아핀(affine) 변환이었고, 양치식물, 시어핀스키 개스킷(Sierpinski gasket)과 같은 것들을 생성할 수 있습니다.

Scott Draves가 개발을 주도한 Apophysis라는 컴퓨터 프로그램은 아핀 변환 대신 비선형 함수를 사용함으로써 IFS를 일반화했습니다. 이 프로그램의 인터페이스는 사용자 친화적이고, 완벽해서 쉽고 빠르게 실험을 할 수 있도록 만들어줍니다.

이 그림은 Apophysis를 사용해 생성되었습니다. 이 프로그램은 빠른 테스트와 무한한 가능성과 같은 실험적 수학이 제공할 수 있는 것들을 잘 보여주고 있습니다.

심장형 또는 카디오이드(cardioid)라 불리는 이 곡선은 여러 가지 방법으로 만들어질 수 있습니다. 동전 하나를 다른 동전 주위에서 굴려서 만들 수 있고, 햇빛이 양동이 안에 반사되어 비칠 때 나타나기도 합니다. (아이들에게는 아마 처음 보는 간단하지 않은 수학적 대상일 것입니다.)

Pedoe의 방법은 이 심장형 곡선을 여러 원들의 포락선(envelope)으로 만들어냅니다. 이제 이 원형들을 회전시켜 3차원 대상을 만들어낼 때 여러 가지 방법으로 회전을 조절한다면, 지금 이 그림처럼 매력적인 구조들을 무한히 많이 만들어낼 수 있습니다. 이 이미지는 여성용 모자 디자이너 Gabriela Ligenza에게 영감을 주어, 3D프린터를 이용한 모자생산을 하게 하기도 하였습니다.

<a href=”http://archive. bridgesmathart.org/2014/bridges2014-349.pdf “>여기</a> 좀더 많은 설명과 예시들이 있습니다.

모든 준정다면체(Archimedean solid)는 항상 모든 꼭지점을 정확히 한 번씩만 지나 제자리로 돌아오는 해밀턴 회로(Hamiltonian circuit)를 가지지만, 그 회로를 찾는 것은 쉽지만은 않습니다.

이 이미지의 제작자는 깎은 십이이십면체의 120개 꼭지점 중 104개의 꼭지점을 지나는 회로를 찾은 후, 이를 곡선으로 연결하였습니다. 그 다음 정사면체 하나로부터 시작해 정사면체 5복합체(compound of five tetrahedra)를 만들어내는 5개의 변환을 적용해, 이 곡선을 5개로 복사하였습니다. 마지막으로 비대칭적인 부분을 뒤쪽으로 돌려 보여줍니다.

비록 완벽하지 않아도 수학은 얼마든지 아름다울 수 있습니다.

Doyle 나선은 모든 원이 언제나 6개의 접원으로 둘러 쌓여져 있는 특수한 원 채우기 방식의 하나입니다. 쉽진 않지만, 적당한 변수 선택을 통해 이 방법으로 면을 채울 수 있습니다. 접원 조건을 유지한 채로 이 나선에 여러 기하학적 변형을 적용시키면, 아름다운 무늬들을 만들 수 있습니다.

지금 보시는 이 작품은 Jos Leys의 아름답고 난해한 이미지들을 감상하던 중 만들어지게 되었습니다.

원 채우기(Circle packing)는 남은 면적을 최소화하면서 평면을 서로 접하는 원으로 채워나가는 과정을 말합니다.

폴로니안 개스킷(Apollonian Gasket)이라고 불리우는 기법은, 접하는 원 사이의 공간을 재귀적으로 채워나갑니다. 하지만 이 방식은 초기 원의 안에 큰 공간을 남기게 됩니다. 스타이너 체인(Steiner Chain) 방식은 두 원 사이에 일련의 접하는 원을 위치시킵니다. 이 그림은 두 방법을 결합하고 반복적으로 적용하여 얻어졌습니다.